Of all the infinite-dimensional topological vector spaces, the Hilbert spaces are the most "well-behaved" and the closest to the finite-dimensional spaces. Trong tất cả các không gian vectơ có trang bị topo, những không gian Hilbert là những không gian "cư xử tốt nhất" và gần nhất với các không gian hữu hạn chiều.
In contrast to a basis of a vector space, a basis of topological space need not be maximal; indeed, the only maximal base is the topology itself. Tương phản với cơ sở của không gian vectơ trong đại số tuyến tính, một cơ sở không cần phải cực đại, quả thực, cơ sở cực đại duy nhất là chính tôpô.
If one chooses a base point (as zero), then an affine space becomes a vector space, which one may then projectivize, but this requires a choice. Nếu chọn một điểm cơ sở (coi là không), thì một không gian affine trở thành không gian vectơ, mà do đó có thể xạ ảnh hóa, nhưng điều này đòi hỏi phải lựa chọn.
Conceptually it involves a mathematical embedding from a space with one dimension per word to a continuous vector space with a much lower dimension. Về mặt khái niệm, nó liên quan đến việc nhúng toán học từ một không gian với một chiều cho mỗi từ vào một không gian vectơ liên tục với kích thước thấp hơn nhiều.
Conceptually it involves a mathematical embedding from a space with many dimensions per word to a continuous vector space with a much lower dimension. Về mặt khái niệm, nó liên quan đến việc nhúng toán học từ một không gian với một chiều cho mỗi từ vào một không gian vectơ liên tục với kích thước thấp hơn nhiều.
Occasionally, V and W can be considered as vector spaces over different ground fields, and it is then important to specify which field was used for the definition of "linear". Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính".
Occasionly, V and W can be considered as vector spaces over different ground fields, and it is then important to specify which field was used for the definition of "linear". Thông thường, V và W có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính".
In fact, while bases exist for all vector spaces, for infinite dimensional spaces they are difficult or impossible to construct and almost never used. Thực tế là, trong khi các cơ sở tồn tại đối với mọi không gian vectơ, với các không gian vô hạn chiều các cơ sở rất khó hay không thể xây dựng và hầu như không bao giờ được sử dụng.
This means that a Banach space is a vector space V over the real or complex numbers with a norm ||.|| such that every Cauchy sequence (with respect to the metric d(x, y) = ||x - y||) in V has a limit in V. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn ||·|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ||x − y||) có giới hạn trong V.
Within the 2_dimensional vector space V consisting of all solutions of this equation, the sine function is the unique solution satisfying the initial conditions y(0) = 0 and y′(0) = 1, and the cosine function is the unique solution satisfying the initial conditions y(0) = 1 and y′(0) = 0. Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0.
