Another possibility is to start from some rigorous axiomatization of Euclidean geometry (Hilbert, Tarski, etc.) and then define the real number system geometrically. Một khả năng khác là bắt đầu từ một số tiên đề nghiêm ngặt của hình học Euclide (Hilbert, Tarski, v.v.) và sau đó xác định hệ thống số thực về mặt hình học.
Another possibility is to start from some rigorous axiomatization of Euclidean geometry (Hilbert, Tarski etc.) and then define the real number system geometrically. Một khả năng khác là bắt đầu từ một số tiên đề nghiêm ngặt của hình học Euclide (Hilbert, Tarski, v.v.) và sau đó xác định hệ thống số thực về mặt hình học.
It is distinguished from Euclidean spaces with zero curvature that define the Euclidean geometry, and models of elliptic geometry (like the 3-sphere) that have a constant positive curvature. Nó được phân biệt với các không gian Euclide có độ cong bằng 0 xác định hình học Euclide và các mô hình hình học elip (như hình cầu 3) có độ cong dương không đổi.
To this day, however, it has not been used in Euclidean geometry, owing to a subtle defect that is corrected by our homogeneous model. Cho đến ngày nay, tuy nhiên, nó đã không được sử dụng trong hình học Euclide, do một khiếm khuyết rất nhỏ mà được điều chỉnh bằng mô hình thuần nhất của chúng tôi.
In most cases, the universes develop nice geometries, some the standard Euclidean geometry we studied in school, some very different. Trong hầu hết các trường hợp, vũ trụ phát triển các dạng hình học tuyệt đẹp, một số giống hình học Euclide tiêu chuẩn mà chúng ta đã học ở trung cấp, một số rất khác.
But this is so only because I am thinking within the framework of traditional geometry, Euclidean geometry, which held sway over mathematics up until the twentieth century. Nhưng sự kiện xảy ra như vậy chỉ vì tôi đang suy nghĩ trong phạm vi của hình học truyền thống, hình học Euclide, vốn đã giữ vững ảnh hưởng trong toán học cho đến thế kỷ thứ 20.
Again, if we knew how the Euclidean curved space-times in the sum over histories behaved at early times, we would know the quantum state of the universe. Một lần nữa, nếu chúng ta biết các không-thời gian cong theo hình học Euclide trong tổng số lịch sử phản ứng ở những thời gian ban đầu, chúng ta sẽ biết tình trạng lượng tử của vũ trụ.
The equivalents of lines are not defined in the usual sense of "straight line" in Euclidean geometry, but in the sense of "the shortest paths between points", which are called geodesics. Các đường tương đương không được định nghĩa theo nghĩa thông thường là "đường thẳng" trong hình học Euclide, nhưng theo nghĩa "các đường đi ngắn nhất giữa các điểm", được gọi là đường trắc địa.
On a sphere, points are defined in the usual sense; the equivalents of lines are not defined in the usual sense of "straight line" in Euclidean geometry, but in the sense of "the shortest paths between points", which are called geodesics. Các đường tương đương không được định nghĩa theo nghĩa thông thường là "đường thẳng" trong hình học Euclide, nhưng theo nghĩa "các đường đi ngắn nhất giữa các điểm", được gọi là đường trắc địa.
The Society of Jesus introduced, according to Thomas Woods, "a substantial body of scientific knowledge and a vast array of mental tools for understanding the physical universe, including the Euclidean geometry that made planetary motion comprehensible." Theo Thomas Woods, Dòng Tên đã khai triển một loạt kiến thức khoa học và một loạt các công cụ tinh thần để hiểu về vật lý vũ trụ, bao gồm cả hình học Euclide về khái niệm chuyển động của hành tinh.
