Mastering long division precedes understanding how fractions correspond to the repeating (non-terminating) decimals, which then paves way to understanding irrational numbers and real numbers. Việc nắm vững phân chia dài trước hiểu được cách phân số tương ứng với số thập phân lặp lại (không kết thúc), sau đó mở đường cho việc hiểu số vô tỉ và số thực .
Modern mathematicians have overcome the Greeks’ discomfiture with irrational numbers (and have discovered, in fact, that there are far more irrational numbers than rational ones). Các nhà toán học hiện đại đã vượt qua sự bất ổn của người Hy Lạp với các số vô tỷ (và thực tế đã phát hiện ra rằng có nhiều số vô tỷ hơn nhiều so với số hữu tỷ).
Modern mathematicians have overcome the Greeks’ discomfiture with irrational numbers (and have discovered, in fact, that there are far more irrational numbers than rational ones). Các nhà toán học hiện đại đã vượt qua sự bất ổn của người Hy Lạp với các số vô tỷ (và thực tế đã phát hiện ra rằng có nhiều số vô tỷ hơn nhiều so với số hữu tỷ).
The real numbers include all the rational numbers, such as the integer â5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers, such as {{sqrt|2}} (1.41421356..., the square root of 2, an irrational algebraic number). Các số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số 4/3 và tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như √ 2 (1.41421356..., căn bậc hai của 2, số đại số vô tỷ).
The real numbers include all the rational numbers, such as the integer −5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers, such as √2 (1.41421356…, the square root of 2, an irrational algebraic number). Các số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số 4/3 và tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như √ 2 (1.41421356..., căn bậc hai của 2, số đại số vô tỷ).
The real numbers include all the rational numbers, such as the integer −5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers such as (1.41421356…, the square root of two, an irrational algebraic number) and pi (3.14159265…, a transcendental number). Các số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số 4/3 và tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như √ 2 (1.41421356..., căn bậc hai của 2, số đại số vô tỷ).
850–930) was the first to accept irrational numbers as solutions to quadratic equations or as coefficients in an equation, often in the form of square roots, cube roots and fourth roots.[5] 850–930) là người đầu tiên chấp nhận số vô tỉ như các nghiệm của phương trình bậc hai hoặc như hệ số trong một phương trình, thường ở dạng của căn bậc hai, căn bậc và căn bậc bốn.[4]
850–930) was the first to accept irrational numbers as solutions to quadratic equations or as coefficients in an equation, often in the form of square roots, cube roots and fourth roots.[4] 850–930) là người đầu tiên chấp nhận số vô tỉ như các nghiệm của phương trình bậc hai hoặc như hệ số trong một phương trình, thường ở dạng của căn bậc hai, căn bậc và căn bậc bốn.[4]
But although irrational numbers have long been used without a qualm, it is only in quite recent years that logically satisfactory definitions of them have been given. Nhưng mặc dù những số vô tỉ từ lâu đã được sử dụng mà không có sự lo ngại, chỉ là trong những năm gần đây mà những định nghĩa tốt đẹp thoả mãn logich mới được đem lại cho chúng.
It was one hundred years later when the Greek astronomer Eudoxus (around 370 B.C.) concluded that because we can measure irrational distances (as we did above), then irrational numbers must exist. 100 năm sau đó, nhà thiên văn học Hy Lạp Eudoxus (khoảng năm 370 trước Công Nguyên) đã kết luận rằng bởi vì chúng ta có thể đo khoảng cách vô tỉ (như chúng ta đã làm ở trên), do đó số vô tỉ phải tồn tại.
